Schnellantwort
Wenn UV-Strahlung schräg auf eine Oberfläche trifft, fällt die tatsächlich an diese Oberfläche gelieferte Bestrahlungsstärke mit dem Kosinus des Einfallswinkels ab. Trifft man eine Oberfläche frontal (0°), erhält man die volle Intensität; lässt man den Strahl streifend einfallen (Richtung 90°), verteilt sich dieselbe Energie über eine immer größere Fläche, bis die lokale Intensität auf null fällt.
Dies ist das lambertsche Kosinusgesetz, erstmals beschrieben von Johann Heinrich Lambert in seiner Photometria (1760). Es ist der Grund, warum industrielle UV-Systeme sorgfältig positioniert werden — und der Grund, warum eine geneigte Lampe, ein gekrümmtes Werkstück oder der Rand einer Beschichtung unbemerkt eine weit geringere Dosis erhalten kann als die Mitte.
Was das lambertsche Kosinusgesetz besagt
Wenn UV-Strahlung schräg auf eine Oberfläche trifft, skaliert die effektive Bestrahlungsstärke auf dieser Oberfläche mit dem Kosinus des Einfallswinkels:
I_Oberfläche = I_einfallend × cos(θ)
wobei θ der Winkel zwischen der Strahlrichtung und der Oberflächennormalen (der Senkrechten auf die Oberfläche) ist.
- Bei senkrechtem Einfall (θ = 0°) ist cos(θ) = 1 — volle Intensität.
- Bei streifendem Einfall (θ → 90°) ist cos(θ) → 0 — derselbe Fluss wird über eine effektiv unendliche projizierte Fläche verschmiert, und die lokale Intensität bricht auf null zusammen.
Der Mechanismus ist rein geometrisch: Ein Strahl mit festem Querschnitt beleuchtet mit zunehmendem Winkel einen größeren Oberflächenfleck, sodass die Energie pro Flächeneinheit genau um den Kosinusfaktor sinkt. Dasselbe Prinzip bestimmt, warum eine lambertsche (ideal diffuse) Oberfläche aus jeder Blickrichtung gleich hell erscheint — die von ihr abgegebene Strahlungsintensität folgt ebenfalls dem Kosinus des Winkels zur Normalen.
Warum das in der UV-Industrie wichtig ist
Dies ist keine akademische Fußnote — es ist ein Hauptgrund dafür, dass industrielle UV-Systeme nicht immer senkrecht nach unten auf das Ziel gerichtet werden.
Beispiel 1: Verkleben eines zylindrischen Bauteils
Betrachten wir ein zylindrisches Bauteil — eine Nadelnabe, einen Stift, eine kleine Welle — mit einer UV-Klebstoffraupe und einer einzelnen Punktquelle direkt darüber. Wenn der Strahler senkrecht nach unten leuchtet, trifft er die zylindrische Seitenwand nahezu tangential: Der Einfallswinkel an den Seiten nähert sich 90°, der Kosinusfaktor ist dort klein, und der größte Teil der UV-Strahlung läuft am Bauteil vorbei, statt dort deponiert zu werden, wo der Klebstoff sitzt.
Eine gängige Lösung ist, das Bauteil aus schrägen Winkeln mit zwei oder mehr Strahlern zu beleuchten, sodass die Seitenwände näher am senkrechten Einfall getroffen werden. Eine dokumentierte Variante zur Aushärtung dreidimensionaler zylindrischer Objekte ohne Rotation nutzt mehrere fokussierte UV-Einheiten, deren Längsabmessung in einem steilen Winkel zur Zylinderachse ausgerichtet ist, sodass der Strahl Oberflächen erreicht, die eine einzelne darüberliegende Lampe verfehlen würde.
Beispiel 2: Linienquellen am Förderband
Eine über einer bewegten Bahn montierte Linienquelle ist das Arbeitspferd der UV-Härtung. Sie perfekt senkrecht auszurichten kann spekular reflektierte UV-Strahlung direkt zurück in den eigenen Reflektor der Lampe senden und so zum Wärmestau im Gehäuse beitragen.
Der Quelle eine leichte Neigung zu geben, lässt Reflexionen am Reflektor vorbeigehen, während sich die Substratdosis nur marginal ändert — denn bei kleinen Neigungswinkeln liegt der Kosinusfaktor sehr nahe bei 1 (siehe die Tabelle unten). Der kleine Kosinusverlust ist oft ein akzeptabler Kompromiss für reduzierte Rückreflexion ins Lampengehäuse.
Beispiel 3: Großflächen-Beschichtungen (Multi-Quellen-Arrays)
Wenn mehrere UV-Balken nebeneinander platziert werden, um ein breites Substrat abzudecken, beleuchten die Quellen am Rand des Arrays die äußeren Substratränder schräg. Dort ist der Kosinusfaktor kleiner als 1, sodass die gelieferte Dosis sinkt — ein Randabfall in der Aushärtung. Als direkte Folge von cos(θ) < 1 am Umfang sind die Randbereiche dort, wo eine Unteraushärtung am ehesten auftritt.
Eine gängige Gegenmaßnahme ist, das Substrat schmaler als das Lampen-Array zu halten, sodass die wichtigen Bereiche in der Zone liegen, in der jede Quelle sie nahe am senkrechten Einfall trifft.
Praktische Faustregel: Wie viel Verlust bei welchem Winkel?
Der Kosinusfaktor ist exakte Trigonometrie — er lässt sich direkt aus der Kosinusfunktion ablesen:
| Neigungswinkel θ | cos(θ) | Verlust |
|---|---|---|
| 0° (senkrecht) | 1,000 | 0 % |
| 10° | 0,985 | 1,5 % |
| 15° | 0,966 | 3,4 % |
| 20° | 0,940 | 6,0 % |
| 30° | 0,866 | 13,4 % |
| 45° | 0,707 | 29,3 % |
| 60° | 0,500 | 50 % |
| 75° | 0,259 | 74 % |
| 90° (streifend) | 0,000 | 100 % |
Faustregel: Bis etwa 20° Neigung bleibt der Kosinusverlust unter 10 % und ist kaum messbar. Jenseits von 30° wird der Verlust signifikant (>13 %) und sollte in die Belichtungszeit- oder Dosisberechnung übernommen werden. Jenseits von 45° ist der Verlust gravierend und wird nur bewusst eingesetzt — zum Beispiel, wenn gerade die Neigung das ist, was den Strahl eine schwierige Geometrie wie eine zylindrische Seitenwand erreichen lässt.
Eine häufige Falle: Abstandsquadratgesetz vs. Kosinus
Das Kosinusgesetz und das Abstandsquadratgesetz sind zwei getrennte geometrisch-optische Effekte, und sie überlagern sich:
I_Oberfläche = I_Lampe × cos(θ) / r²
↑ ↑
Lambert-Kosinus Abstandsquadrat (Abstand²)
- Abstandsquadratgesetz beschreibt die geometrische Ausbreitung: Photonen einer Punktquelle verteilen sich über eine Kugel, deren Fläche mit r² wächst, sodass die lokale Intensität mit 1/r² fällt. Doppelter Abstand, ein Viertel der Bestrahlungsstärke.
- Lambertsches Kosinusgesetz beschreibt die Treffereffizienz: Schräg einfallende Photonen verteilen ihre Energie über einen größeren Oberflächenfleck, sodass die lokale Intensität mit cos(θ) fällt.
Beide gleichzeitig zu berücksichtigen ist Standardpraxis in jeder ernsthaften Bestrahlungsverteilungs-Berechnung — und nicht nur bei UV. Das identische Prinzip taucht in der Photometrie, im Computergrafik-Rendering, in der Antennentechnik und im Solarkollektor-Design auf.
Auslegung rund um das Kosinusgesetz
Bei der Auslegung einer UV-Installation folgen zwei praktische Erkenntnisse direkt aus dem Gesetz:
- Spezifizieren Sie den ungünstigsten Punkt. Die Position des Werkstücks, die unter dem größten Einfallswinkel (oder dem größten Abstand oder im Schatten) getroffen wird, bestimmt die Dosis für den gesamten Auftrag. Die Aushärtung oder Desinfektion an diesem Punkt muss das Ziel weiterhin erfüllen.
- Mehrere schräge Quellen können eine senkrechte Quelle schlagen. Für gekrümmte oder dreidimensionale Werkstücke liefern zwei oder drei Quellen, die aus verschiedenen Richtungen ankommen, oft eine gleichmäßigere Oberflächendosis als eine einzelne darüberliegende Lampe — jede Quelle deckt die Facetten ab, die die anderen unter einem schlechten Winkel treffen.
Ein nützlicher kundenseitiger Hinweis für geneigte Installationen:
Wenn eine UV-Lampe relativ zum Ziel geneigt ist, sinkt die Oberflächen-Bestrahlungsstärke gemäß dem lambertschen Kosinusgesetz. Bis etwa 20° Neigung ist der Effekt vernachlässigbar (unter 10 % Verlust). Jenseits von etwa 30° berücksichtigen Sie ihn in der Belichtungszeitberechnung oder spezifizieren Sie eine entsprechend höhere Lampenleistung. Für zylindrische oder gekrümmte Werkstücke ergeben zwei oder mehr Lampen unter verschiedenen Winkeln üblicherweise eine gleichmäßigere Oberflächendosis als eine einzelne senkrechte Lampe.
Querverweise
- Schichtdicke & Dosis-Skalierung — wie sich die gelieferte Oberflächendosis in die Durchhärtung einer Beschichtung übersetzt
- Reflektor-Geometrien — wie die Reflektorform UV umlenkt und mit dem Einfallswinkel zusammenwirkt
- UV-System-Typen-Taxonomie — wo Oberflächendosis- vs. Volumendosis-Modellierung gilt
- Wellenlängen & Wirkungsspektren — die spektrale Seite der effektiven Dosis
Quellen
- Lambert's cosine law — Wikipedia (Definition, lambertsche Reflexion, historischer Ursprung in Lamberts Photometria, 1760)
- "Cosine law" — ScienceDirect Topics (Bestrahlungsstärke vs. Einfallswinkel in der Radiometrie)
- Lambert's Cosine Law — optris knowledge library (Winkelabhängigkeit emittierter/einfallender Strahlung)
- "Inverse Square Law of Irradiance" — SPIE Field Guide to Radiometry (Punktquellen-1/r²-Verhalten)
- Light Measurement Handbook, Basic Principles — International Light Technologies (Abstandsquadrat- und Kosinusgesetz als die zwei Gesetze der geometrischen Optik für Radiometrie/Photometrie)
- US Patent 4,208,587 — "Method and apparatus for ultraviolet curing of three-dimensional objects without rotation" (mehrere fokussierte UV-Einheiten, zur Zylinderachse angewinkelt)